Los resultados fundamentales del análisis funcional como consecuencia del teorema de la categoría de Baire

Abstract

Este trabajo de investigación fue motivado con la idea de presentar una demostración mas detallada y comprensible del teorema de la Categoria de Baire y mostrar sus aplicaciones. Primeramente demostraremos el Teorema de la Categoría de Baire, el cual afirma que el complemento de cualquier unión numerable de subconjuntos nada densos de un espacio métrico completo X, es denso en X. Este teorema implica, en particular, que un espacio métrico completo no puede ser dado como una unión numerable de conjuntos nada den- sos. En otras palabras, si en un espacio métrico completo es igual a la unión numerable de conjuntos, entonces no todos aquellos conjuntos pueden ser nada densos, esto es, al menos uno de ellos tiene clausura con su interior distinto del vacío. Como una primera aplicación del Teorema de la Categoría de Baire, consideramos el Teorema de Banach- Steinhaus, también llamado el Principio de la Acotación Uniforme por obvias razones. Otra aplicación del Principio de la Acotación Uniforme, por consiguiente una aplicación del Teorema de la Categoría de Baire, es el estudio de la continuidad conjunta de las aplicaciones bilineales. Seguidamente pasamos a considerar el Teorema de la Aplicación Abierta como una consecuencia del Teorema de la Categoría de Baire. Como un corolario del Teorema de la Aplicación Abierta tenemos el Teorema de la Aplicación Inversa, el cual afirma que cualquier aplicación lineal acotada y biyectiva entre espacio de Banach tiene inversa acotada. Finalmente, probamos el Teorema del Gráfico Cerrado como una consecuencia del Teorema de la Categoría de Baire. Todos estos resultados desarrollan un papel importante en el estudio de los espacios de Banach. Finalizamos el trabajo de investigación considerando algunos ejemplos y consecuencias de los resultados tratados.