Una clasificación completa de los campos finitos

Abstract

La presente investigación titulada “Una Clasificación Completa de los Campos Finitos” tiene como principal objetivo determinar la estructura de todos los campos finitos. Se demuestra en primer lugar que todo campo finito tiene elementos, donde es la característica del campo y cierto número natural, más aún todo elemento de dicho campo es una raíz del polinomio . Después se demuestra que para cada natural y cada primo existe un único campo (salvo isomorfismos) con elementos. Equivalentemente, dos campos cualesquiera con elementos son isomorfos. A este campo se le llama el campo de Galois de orden y se le representa por . Finalmente se demuestra que el grupo de elementos distintos de cero del campo de Galois es cíclico; es decir, generado por un elemento que se denomina elemento primitivo. Para obtener estos resultados será necesario introducir ciertos conceptos de grupos, anillos, campos y polinomios, así como algunas propiedades que serán utilizadas en resultados posteriores. Entre estas propiedades se encuentra que todo campo finito, tiene característica un número primo. Esta propiedad pese a su aparente sencillez resulta clave en la teoría de campos finitos. También será necesario introducir la teoría de extensión de campos y otros conceptos relacionados, como el grado de la extensión o campo intermedio. Se verá que toda extensión de campos puede ser vista como un espacio vectorial sobre . Tras ello se continuará con la introducción de extensiones algebraicas y simples, así como campos factorizantes. Una vez realizada esta introducción a las extensiones de campos y campos factorizantes será el momento de profundizar en la teoría de campos finitos.