Aplicación del método de diferencias finitas en la solución numérica de Ecuaciones Diferenciales Parciales de tipo parabólico unidimensional mediante el software MATLAB

Abstract

El presente estudio tiene como objetivo aplicar el método de diferencias finitas para resolver numéricamente lasEcuaciones Diferenciales Parciales (EDP)de tipo parabólico unidimensional, específicamente la ecuación del calor, mediante los esquemas de Richardson y Crank–Nicolson, utilizando el software MATLAB. Los métodos de diferencias finitas son esenciales para aproximar soluciones numéricas al sustituir derivadas continuas por diferencias discretas, lo que permite analizar sistemas dinámicos con alta precisión. La investigación se basa en la discretización del dominio espacial y temporal, estableciendo condiciones de estabilidad y convergencia que garantizan la validez del modelo numérico. Se implementaron y compararon tres esquemas: el explícito de Richardson y el implícito de Crank–Nicolson. Los resultados mostraron que el esquema Crank–Nicolson, por su carácter implícito, ofrece mayor estabilidad y precisión, mientras que el esquema de Richardson requiere restricciones de tipo CFL para evitar inestabilidades numéricas. El uso de MATLAB permitió desarrollar algoritmos eficientes y representar gráficamente los resultados, comparándolos con soluciones analíticas. En conclusión, la integración del método de diferencias finitas con herramientas computacionales constituye una alternativa robusta, flexible y didáctica para la simulación de fenómenos de difusión térmica, con aplicaciones en ingeniería, física y matemática aplicada.